Persamaan Linear Tiga Variabel (Metode Determinan)

Pada materi Minggu lalu kita telah membahas tentang penyelesaian persamaan linear tiga variabel metode substitusi- eliminasi. Minggu ini kita akan mempelajari tentang persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan Determinan.



Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) metode Determinan


Contoh soal :

2x + y + z = 12
x  + 2y - z = 3
3x - y + z = 11

Tentukan nilai x, y, z!

Jawab 

Langkah pertama kita ubah persamaan diatas menjadi sebuah matriks 3 x 3 

Langkah 1

Ambil koefisien yang di depan variabel x,y,z lalu susun menjadi tiga baris dan tiga kolom seperti berikut 

Langkah 2

Ambil variabel, x , y, z susun dalam satu kolom. Lalu nilai persamaannya juga dibuat dalam satu kolom.


Langkah ke-3

Menentukan nilai Determinan D dengan cara menambahkan kolom 1 dan 2 ke sebelah kanan. Lalu buat tanda panah dengan arah diagonal ke kanan lalu dikurangkan dengan diagonal kiri.

Langkah-4

Menentukan Determinan x (Dx) caranya dengan mengganti kolom 1 dengan nilai persamaannya lalu lakukan seperti mencari nilai D tadi. 

Setelah didapat nilai Dx lalu cari nilai x dengan cara membagi Dx /D 

Langkah 5

Lakukan hal yang sama untuk menentukan nilai y. Tukar kolom ke-2 ganti dengan nilai persamaannya.


Lakukan penyelesaian seperti cara pertama, kalikan nilai yang ada pada diagonal yang sama. Lalu kurangkan dengan nilai yang berlawanan arah diagonal ya.

Nilai y didapat dengan cara membagi Dy / D 

Langkah 6

Untuk mencari nilai z langkah yang dilakukan sama halnya dengan ketika mencari nilai x dan y. Tukar kolom ke-3 menjadi nilai persamaan lalu kalikan ke arah diagonal yang sama.

Nilai x, y, dan z sudah didapatkan 

X = Dx /D = -27/-9 = 3

Y = Dy / D. = -18/-9 = 2

Z = Dz / D. = 72/-9 = -8


Contoh 2 

Selesaikan Persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode determinan !

x + x - x = -3
x + 2 + 1 = 7
2 + 1 + 1 = 8

Penyelesaian 

Langkah 1 

Ambil koefisien dari tiap tiap persamaan diatas sehingga menjadi matriks berordo 3 x 3


Langkah 2 


Pindahkan kolom 1 dan 2 ke kanan. Sehingga matriks menjadi lebih luas. Lalu Operasinya setiap diagonalnya. 


Langkah 3 


Operasikan tiap tiap diagonal seperti arah tanda panah. Diagonal kanan di beri tanda positif (+) sedangkan diagonal kiri beri tanda negatif (-)

D = (1.2.1 + 1.1.2 + (-1).1.1) - (2.2.(-1) + 1.1.1 + 1.1.1)
D = (2 + 2-1 ) - (-4 + 1+1)
D = 3 - (-2)
D = 5

langkah 4

Pada langkah ke-4 kita akan menentukan nilai Dx dengan cara Tukar kolom pertama dengan nilai persamaan sehingga menjadi : 


Selanjutnya pindahkan kolom pertama dan kedua ke sebelahnya sehingga matriks diperluas. 



Selanjutnya kita akan mengoperasikan entri-entri yang ada di kolom-kolom diagonal seperti tanda panah pada gambar diatas. 

Dx = ((-3).2.1+1.1.8+ (-1).7.1) - (8.2.(-1)+1.1.(-3)+ 1.7.1)
Dx = (-6 + 8 - 7 )- ( -16 - 3 +7)
Dx = (-5 )- (-12)
Dx = -5 + 12
Dx = 7

Sehingga  X = Dx/D  = 7/5 

Langkah ke- 5

Selanjutnya kita akan menentukan Y dengan cara menukar kolom kedua dengan nilai persamaan nya. Seperti dibawah ini : 


Lalu operasikan entri-entri pada diagonal diagonal matriks tersebut. 

penyelesaian SPLTV metode determinan

Lalu operasikan entri-entri seperti arah tanda panah. 

Dy = (1.7.1 + (-3).1.2 + (-1).1.8 ) - ( 2.7.(-1) + 8.1.1 + 1.1.(-3)
Dy  = (7 -6 -8 ) - ( -14 + 8 -3)
Dy = (-7 - (-9)
Dy = -7 + 9
Dy = 2

Langkah 6 

Menentukan nilai Y  = Dy/d = 2/5 

Langkah 7 

Langkah selanjutnya adalah menentukan Dz dengan cara menukar kolom ketiga dengan nilai persamaan. Seperti ditunjukkan  dibawah ini : 


Lalu operasikan entri-entri berdasarkan diagonal utama yang ada pada matriks yang telah kita perluas diatas. 

SPLTV metode determinan

Langkah 7 

Selanjutnya kita akan mengoperasikan entri-entri seperti ditunjukkan tanda panah 

Dz = (1.2.8 + 1.7.2 + (-3) .1.1 ) - ( 2.2.(-3) + 1.7. 1 + 8. 1.1)
Dz = ( 16 + 14 -3 ) - ( -12 + 7 + 8 )
Dz = 27 - 3
Dz  = 24


Langkah 8 

Menentukan nilai Z = Dz/D = 24/5 


Himpunan penyelesaian yang telah kita dapatkan adalah (7/5, 2/5 ,24/5)

Contoh 3

Selesaikan Persamaan Linear tiga variabel (SPLTV) berikut dengan metode Determinan!

x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0

Penyelesaian !

Untuk menyelesaikan SPLTV berikut kita ubah bentuk persamaan menjadi bentuk matriks

Langkah 1 



Langkah 2 

Selanjutnya kita akan menentukan nilai Determinan persamaannya sebagai berikut : 

D = 

D = (1.4.(-5) + 1.(-3).3+2.2.6 )- (2.4.3 + 1.(-3).3+1.2.-5)
D = (-20-9+24)-(24-9-10)
D = -5 - (-4)
D = -5+4
D = -1

langkah 3

Selanjutnya kita akan menentukan Determinan X dengan cara mengganti kolom pertama dengan nilai persamaannya.

Lalu kita perluas matriksnya dengan memindahkan entri pada kolom pertama dan kedua ke sebelahnya. sehingga matriks menjadi berikut ini :

Dx = 

Kalikan diagonal kanan lalu kurangkan dengan diagonal kiri

Dx= (9.4.(-5) + 1.(-3).0 + 2.1.6) - (2.4.0 + 9.(-3).6+1.1.(-5)
Dx = ( -180 + 0 + 12) - (0 -162-5)
Dx = (-168 - -167)
Dx = -1 

Langkah 4 

Selanjutnya kita akan menentukan Determinan Y dengan cara mengganti kolom kedua dengan nilai persamaannya. 

Lalu kita perluas lagi matriksnya dengan memindahkan entri pada kolom pertama dan kedua ke sebelahnya sehingga matriks menjadi seperti berikut ini : 

Dy = 

Kalikan diagonal kanan lalu kurangkan dengan perkalian diagonal kiri

Dy = (1.1.(-5) + 9.(-3).3+2.2.0 ) - (2.1.3+ 1.(-3).0 + 9.2.(-5))
Dy = (-5-81+0)-(6+0-90)
Dy = -86-(-84)
Dy = -2

Langkah 5

Selanjutnya kita akan menentukan Determinan Z dengan cara mengganti kolom ketiga dengan nilai persamaannya. 

Lalu kita perluas lagi matriksnya dengan memindahkan entri pada kolom pertama dan kedua ke sebelahnya sehingga matriks menjadi seperti berikut ini : 

Dz = 

Selanjutnya kita operasikan entri entri pada diagonal-diagonal kanan dan dikurangi dengan entri-entri pada diagonal kiri.

Dz = (1.4.0+1.1.3+9.2.6)-(9.4.3+1.1.6+1.2.0)
Dz = (0+3+108)-(108+6+0)
Dz = 111 - 114
Dz = -3

Setelah kita mendapatkan nilai Dx, Dy dan Dz selanjutnya kita akan menentukan nilai x, y dan z dengan cara :

X = Dx/D = -1/-1 = 1

Y = Dy/D = -2 / -1 = 2

Z = Dz/D = -3 / -1 = 3

Sehingga himpunan penyelesaian dari persamaan linear tiga variabel soal 

x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0

diatas adalah {1,2,3}

Contoh 4

Selesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel berikut ini !

2x -3y + 3z = 3
x -  y - 2z = -1
-x + 2y - 3z = -4

Penyelesaian :

Langkah 1 : Menentukan Determinan ( D )

D = 
         
D =
spl 3 var metode determinan
D = ( 2. (-1). (-3) + (-3). (-2). (-1)) - ( 2. (-1). (-1) + 2. (-2). 2 + (-3). 1. (-3))
D = ( 6 - 6 + 4) - ( 2 - 8 + 9 )
D = (4 - 3)
D = 1

Langkah 2 Menentukan Determinan y (Dy)

Tukar kolom pertama dengan nilai persamaannya

Dx = 
            kolom 1dan 2 di perluas menjadi kolom 4 dan 5
Dx = ( 3.(-1). (-3) + (-3).(-2).(-4)+(2.(-1).2) - ( 2).(-1).(-4) + 3.(-2).2 + (-3).(-1).(-3))
Dx = (9 - 24 - 4 ) - ( 8 - 12 - 9 )
Dx = ( -9 - (-13))
Dx = -6
 
Langkah 3 Menentukan Determinan y (Dy)

Tukar kolom ke-2 dengan nilai persamaannya

Dy = 
        kolom 1 dan 2 di perluas / ditambahkan ke kolom 4 dan 5
Dy = (2. (-1). (-3) + (-3). (-2). (-1) + ( 2.1. (-4) - ( 2. (-1). (-1) + 2. (-2). (-4) + (-3).1.(-3))
Dy = (6 + 6 - 8 ) - ( 2 + 16 - 9)
Dy = 4 - 9
Dy = -5 

Langkah 4 Menentukan Determinan z (Dz)

Tukar kolom ke-3 dengan nilai persamaannya

Dz =
        kolom 1 dan 2 di perluas / ditambahkan ke kolom 4 dan 5
Dz = (2. (-1) .(-4) + (-3).(-1).(-1)+ 3.1.(-2)) - (3.(-1).(-1) + 2. (-1).2 + (-3).1.(-4)
Dz = (8 - 3 - 6 ) - ( 3 - 4 + 12)
Dz = 11 - 11
Dz = 0

Dari hasil Determinan masing-masing variabel Dx. Dy, dan Dz kita akan menentukan nilai x, y, dan z dengan cara : 

X = Dx/ D = (-6) / 1 = 6

Y = Dy / D = (-5) / 1 = -5

Z = Dz / D =  0 / 1 = 0 

Sehingga himpunan penyelesaian untuk persamaaan Linear tiga variabel diatas adalah { -6, -5, 0}


Demikian Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) metode Determinan. Untuk penyelesaian SPLTV bisa juga dilakukan dengan cara Substitusi eliminasi dan metode Gauss Jordan. Selamat belajar semoga membantu.

No comments

Terimakasih ya, telah berkunjung di blog saya. Bila ada waktu luang saya sempatkan berkunjung balik. Semoga silaturrahim kita terjalin indah.