Persamaan Linear Tiga Variabel (Metode Eliminasi Gauss Jordan)

Pada Minggu lalu kita sudah membahas persamaan linear tiga variabel metode diskriminan. Kali ini kita akan membahas masalah persamaan linear tiga variabel metode Eliminasi Gauss Jordan.




Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel metode Gauss Jordan

Contoh 

2x + 3y - z = 6
X  + 2y - 4z = 8
x + y + 4z  = 4

Tentukan nilai x, y, z dengan metode Eliminasi Gauss Jordan!

Langkah 1

Ambil koefisien masing masing variabel sehingga menjadi matriks berbentuk 3 x 3


b1 disebut baris 1

b2 disebut baris 2

b3 disebut baris 3


Baris ke-1 (b1) kita tukar dengan baris ke-2 (b2)

Sehingga nilainya menjadi :

Langkah 2

Pada baris ke-2 buatlah rumus -2b1 + b2 lalu selesaikan baris ke-2

Langkah 3

Pada baris ke-3 kita akan menjadikan nilai 1 kolom 1 menjadi 0 sehingga buat rumus -b1 + b3 sehingga menjadi matriks baru 

Langkah 4 

Pada langkah berikut baris ketiga pada kolom kedua akan kita buat menjadi 0 sehingga buat rumus -b2+b3 

Langkah 5 

Pada langkah ke-5 kita akan membuat angka 8 menjadi 1 sehingga buat rumus -b2 + b3 

Apabila pada diagonal utama sudah menjadi angka 1, 1, 1 maka dapat kita simpulkan bahwa : 

Z = -4

Y -7z = -10  ........ (6)

X + 2y -4z = 8  ........... (7)

Dari hasil yang didapat Z = - 4 akan kita substitusikan ke persamaan (6) untuk mendapatkan nilai y. Setelah didapat y maka selanjutnya kita substitusikan ke persamaan (7) untuk mendapatkan nilai x. 


Lihat juga cara penyelesaian SPLTV metode Determinan dan Substitusi Eliminasi. 

Demikian penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) metode eliminasi Gauss Jordan. 

Contoh 2

Selesaikan Persamaan Linear Berikut ini !

x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y -5z = 0

Untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode Gauss Jordan langkah pertama kita akan mengubah bentuk persamaan linear diatas menjadi bentuk matriks sebagai berikut : 

langkah 1

penyelesaian SPLTV gauss jordan spl 3 variabel

Langkah 2

Kita akan ubah matriks  yang ada di sebelah kanan menjadi matriks diagonal yang memuat 1,1,1 pada diagonal utama. 

Matriks diagonal /matriks identitas ( I) = spl 3 variabel

Langkah 3  (kita akan ubah entri pada baris 2 kolom 1 menjadi 0)


penyelesaian SPLTV gauss jordan-2b1 + b2 (-2 dikali baris 1 ditambah baris 2) 

Langkah 4 (kita akan mengubah entri pada baris ke-3 kolom 1 menjadi 0)

penyelesaian SPLTV gauss jordan-3b1 + b3 (-3 dikali baris 1 ditambah baris 3)

langkah 5 (selanjutnya kita akan mengubah entri pada baris 1 kolom kedua menjadi 0)

-1/2 b2 + b1 (-1/2 dikali baris 2 ditambah baris 1


Langkah 6 (mengubah baris kedua kolom kedua menjadi 1)


-1/2 b2 (- 1/2 baris 2)

Langkah 7 (mengubah baris 3 kolom 2 menjadi 0)


 -3b2 + b3 (-3 baris 2 ditambah baris 3)

Langkah 8 (mengubah baris 3 kolom 3 menjadi 1)

 -2 b3 (-2 dikali baris 3)

Langkah 9

Sampai di langkah ini kita lihat bahwa diagonal utama sudah menunjukkan 1,1,1 artinya kita boleh memodifikasi langkah dengan cara lain yakni cara substitusi eliminasi. 

Jika kita ubah menjadi bentuk persamaan akan menjadi : 



Dari matriks diatas dapat kita simpulkan bahwa 

z = 3 

y + -7/2 z = -17/2  ------------------------> y + (-17/2). 3 = -17/2 
                                                                                  y    = 2

x + 11/2 z  = 35/2  -----------------------> x + 11/2 . 3  = 35/2
                                                                                x   = 35/2 - 33/2
                                                                                x  = 2/2
                                                                                x  = 1

Sehingga dapat disimpulkan bahwa X = 1, Y = 2, Z = 3 atau Hp : {1,2,3}


Contoh 3 

Selesaikan persamaan linear berikut ini dengan metode eliminasi Gauss Jordan : 

2x -3y + 2z = 3
x - y -2 z = -1
-x +2y -3z = -4

Penyelesaian 

langkah 1



langkah 2 perhatikan baris 1

b1 ---> b2 (baris 1 tukar dengan baris 2)

Langkah 3 : Perhatikan baris 2 dan 3 (akan kita jadikan entri pada kolom 1 baris 2 dan 3 menjadi 0)


 -2b1+ b2 -----> b2 (-2 baris 1 ditambah baris 2 di baris ke-2)
                                          b1 + b3 ------> b3 (baris 1 tambahkan dengan baris 3 )

langkah 4 : perhatikan baris 3 (akan kita jadikan nilai 1 menjadi 0)

b2 + b3 ----->b3 ( baris 2 ditambah baris 3)

Langkah 5 : perhatikan baris 2 entri (-1) akan kita jadikan 0)


- b2 -------> b2 (-1 dikali baris 2 )

langkah 6 : perhatikan baris 1 kolom 2 akan kita jadikan 0


b2 + b1 -------> b1 (baris 2 ditambah baris 1)

langkah 7 : Perhatikan diagonal utama sudah menunjukkan matriks diagonal 1,1,1 artinya sudah dapat kita cari nilai x, y dan z 

Jika diubah ke persamaan maka akan menjadi 


 x -8z = -6 ....................... (4)
y - 6z = -5 ...................... (5)
z = 0 

Dari hasil eliminasi kita sudah mendapatkan nilai z = 0, selanjutnya menentukan y dari persamaan (5)

y - 6z = - 5
y - 6 (0) = - 5
         y  = -5

Nilai x ditentukan dengan mensubstitusi hasil z dan y ke persamaan (4)

x - 8z = -6
x - 8 (0) = -6
          x = -6 

Sehingga didapat kesimpulan bahwa x, y, z adalah {-6, -5, 0 }

Demikian penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) metode eliminasi Gauss Jordan. Kalian juga bisa melihat cara penyelesaian SPLTV dengan metode determinan dan substitusi eliminasi di blog ini. Serta Aplikasi SPLTV dalam kehidupan sehari-hari.

No comments

Terimakasih ya, telah berkunjung di blog saya. Bila ada waktu luang saya sempatkan berkunjung balik. Semoga silaturrahim kita terjalin indah.