Persamaan Linear Tiga Variabel

Hai teman-teman, sahabat, pembaca setia blog Yurmawita's Blog Pada pokok bahasan kali ini yaitu tentang Persamaan Linear Tiga Variabel :


Persamaan linear Tiga Variabel SPLTV metode Substitusi Eliminasi akan dipelari berikut ini


Akan ditemukan bentuk persamaan sebagai berikut :

Dari persamaan diatas dapat dilihat bahwa :

Baris pertama kita sebut sebagai persamaan ke-1

Baris kedua kita sebut sebagai persamaan ke-2

Baris ketiga kita sebut sebagai persamaan ke-3

Untuk menyelesaikan ketiga persamaan ini maka variabel-variabel x, y, z harus kita cari penyelesaiannya dengan 3 teknik yaitu :

1. Metode substitusi eliminasi
2. Metode matriks
3. Metode gauss-jordan


Baiklah akan kita bahas satu persatu ketiga metode penyelesaian persamaan linear 3 variabel berikut ini.

Contoh soal 1

x + y + 2z = 9  
2x + 4y + 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0

Selesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel diatas dengan metode Substitusi Eliminasi !


Pada persamaan diatas akan kita beri identitas masing-masing persamaan menjadi : 

x + y + 2z = 9  ............................ (1)
2x + 4y + 3z = 1 .......................... (2)
3x + 6y - 5z = 0 ........................... (3)

Dari persamaan (1) dan (2)

x   + y + 2z  = 9   : (dikali 2) -------> 2x  + 2y + 4z = 18
2x + 4y - 3z = 1   : (dikali 1) -------> 2x  + 4y -3z  =   1 -
                                                                   -2y + 7z = 17  ........... (4)

Dari persamaan (1) dan (3)

 x + y + 2z = 9 : (dikali 3) ------------> 3x + 3y + 3z = 27 
3x +6y -5z = 0 : (dikali 1) ------------> 3x + 6y -5z = 0 -
                                                               -3y + 11z = 27 ..............(5)

Dari persamaan (4) dan (5) 

-2y + 7z = 17   : (dikali 3) ------------> -6y + 21z = 51
-3y + 11z = 27 : (dikali 2) ................> -6y + 22z = 54 -
                                                                          -z = -3
                                                                            z = 3

Sekarang kita akan menentukan nilai y dengan mensubstitusikan z = 3 ke persamaan (4)

-2y + 7z = 17  ------------> -2y + 7(3) = 17 
                                            -2y + 21 = 17
                                                     -2y = 17-21
                                                       y  = -4/-2
                                                       y  = 2

x + y+ 2z = 9  ------------> x + 2 + 2(3) = 9 
                                            x +2 + 6     = 9
                                                     x       = 9-8
                                                       x     = 1
                                                       
Himpunan penyelesaian yang telah kita dapatkan adalah Hp {1,2,3}


Contoh Soal 2: 

Tentukan penyelesaian persamaan linear tiga variabel berikut :

3x + 4y - 5z = 12 ........(1)
2x + 5y - z   = 17 ........(2)
6x + 2x - 3z = 17 ........(3)

Penyelesaian 

1. Metode substitusi eliminasi


Langkah pertama kita ambil persamaan (1) dan (2). Lalu dieliminasi Setelah itu didapat persamaan (4).

Langkah kedua ambil persamaan (2) dan (3) lalu kita eliminasi sehingga kita mendapatkan nilai y 

Langkah ketiga

Substitusi nilai y yang kita dapatkan ke persamaan (4) sehingga mendapatkan nilai x

Langkah keempat 

Seperti langkah pertama namun kita ambil persamaan (1) dan (3) untuk mengeliminasi nilai z.
Begitu juga dengan persamaan (2) dan (3) kita eliminasi nilai z

Langkah kelima

Setelah z tereliminasi maka didapatlah nilai y

Langkah keenam

Langkah ini kita tinggal menentukan nilai z berdasarkan persamaan (4) sehingga didapat nilai z.


Contoh 3

Selesaikan persamaan Linear 3 variabel berikut ini: 

2x -3y + 2z = 3 
x - y -2 z = -1 
-x +2y -3z = -4 

Penyelesaian

Penyelesaian dengan metode Substitusi Eliminasi

2x -3y + 2z = 3 ........................... (1)
x - y -2 z = -1 ................................ (2)
-x +2y -3z = -4 ............................... (3)

Langkah 1 eliminasi x ,  ambil persamaan (1) dan (2) 

2x -3y + 2z = 3 --- x 1 -----> 2x - 3y + 2z = 3
  x -  y - 2z = -1 --- x 2 ---->  2x - 2y - 4z = -2 -
                                                     - y + 6z  = 5 .............. (4)

langkah 2 eliminasi x, ambil persamaan (2) dan (3)

  x - y -2 z = -1  
-x +2y -3z = -4  + 
      y - 5 z = -5 ............(5)

langkah 3 eliminasi y, ambil persamaan (4) dan (5)

 - y + 6z  = 5 
    y - 5 z = -5 +
           z  = 0

Substitusikan nilai z = 0 ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai y 

 y - 5z = -5 --------> y - 5(0) = -5 -------> y = -5

Substitusikan nilai z = 0 ke persamaan (2)

x - y - 2z = -1
x - (-5) - 2 (0) = -1 
x+5                 = -1
                   x   = -1-5
                   x  =  -6

Jadi penyelesaian persamaan ini adalah {-6,-5,0}

Contoh 4

Selesaikan Persamaan linear 3 Variabel berikut ini : 

2x - y + z = 5
x - 2y + 3z = 9
x - 3y + z = 1 

Penyelesaian 

Kita akan selesaikan soal ini dengan metode Substitusi Eliminasi 

2x - y + z = 5 ................(1)
x - 2y + 3z = 9 .............. (2)
x - 3y + z = 1  ............... (3)

Langkah 1 Mengeliminasi x ambil persamaan (1) dan (2)

2x - y + z = 5 ------> x 1 -----> 2x - y + z = 5
x - 2y + 3z = 9 -----> x 2 -----> 2x -4y +6z = 18  -
                                                        3y - 5z = -13 .......... (4)

langkah 2 mengeliminasi x dari persamaan (2) dan (3)

x - 2y + 3z = 9 
x - 3y + z = 1  -
     y  + 2z  = 8 ..............(5)

langkah 3 mengeliminasi y , ambil persamaan (4) dan (5)

3y - 5z = -13 ------> x 1 --->    3y  - 5z = -13
   y  + 2z  = 8 ------> x 3 ---->  3y + 6z = 24 -
                                                        -11z = -11
                                                             z = -11/-11
                                                             z = 1

Langkah 4 mencari nilai y dengan substitusi nilai z = 1 ke persamaan (5)

  y  + 2z  = 8 
 y   + 2.1 = 8
y             = 8-2
            y = 6

Langkah 5 menentukan nilai x dengan mensubstitusikan hasil y = 6, z= 1 ke persamaan (1)

2x - y + z = 5 
2x - 6 + 1 = 5
2x - 5       = 5
2x            = 5+5
             x = 10/2
             x = 5

Jadi penyelesaian persamaan linear 3 variabel ini adalah {5, 6, 1}


Nah, bagaimana? bisa dimengerti? Kalian juga bisa mempelajari penyeesaian persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan menggunaan metode lainnya yakni Metode Determinan dan Metode Gauss Jordan di blog ini. 

Terimakasih. 

No comments

Terimakasih ya, telah berkunjung di blog saya. Bila ada waktu luang saya sempatkan berkunjung balik. Semoga silaturrahim kita terjalin indah.