February 2014 - Yurmawita's Blog Archive for February 2014
Sunday, February 2, 2014

SUKUBANYAK


BAB 5
SUKU BANYAK

STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah

KOMPETENSI DASAR
Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Menggunakan teorema sisa dan teorema factor dalam pemecahan masalah

5.1 Pengertian Sukubanyak, Nilai Sukubanyak dan Operasi Antar sukubanyak

            Bentuk umum persamaan sukubanyak

anxn + an-1xn-1 + an-2­xn-2 + …. + a2x2 + a1x + a0
 



Keterangan : an, an-1 dst.  Adalah koefisien dari xn
                    n adalah derajat sukubanyak
                    x adalah variable
            Dalam bentuk fungsi sukubanyak dapat ditulis :

F(x)= anxn + an-1xn-1 + an-2­xn-2 + …. + a2x2 + a1x + a0
 


                  
Nilai Sukubanyak dapat ditentukan dengan metode substitusi, metode bagan/skema,
A.    Metode Substitusi

Nilai sukubanyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2­xn-2 + …. + a2x2 + a1x + a0 untuk x= k (kЄ bilangan real) ditentukan oleh:
F(K) = an(k)n + an-1(k)n-1 + an-2­(k)n-2 + …. + a2(k)2 + a1(k) + a0




CONTOH
1.       Hitunglah nilai sukubanyak f(x) = x3 + 3x2 – x + 5 untuk nilai nilai x berikut:
a.       X = 2                                                                      b. x = m-2
JAWAB
a.       Untuk x = 2 diperoleh :
F(2) = 23 + 3 (2)2 – 2 + 5  = 8 + 12 -2 + 5 = 23

b.      F(m-2) = (m-2)3 + 3 (m-2)2 – (m-2) + 5
F(m-2) = m3-6m2-6m1 + 3 (m2-4m + 4) – m + 2 + 5
F (m-2) = m3- 6m2-6m+3m2-12m+12-m +7
F(m-2) = m3 -3m2-17m + 19

2.       Diketahui  sukubanyak dengan dua variable x dan y sebagai berikut:
F(x,y) = x2y + xy2 + 3x – 4y + 2
Hitunglah :
a.       F(-1,y)           b. f(x,-2)              c. f(4,2)
JAWAB
a.       .f(-1, y) = (-1)2y + (-1)y2 +  3(-1) -4y + 2
             = y –y2 -3 -4y + 2
             =  -y2 -3y - 1
b.      F(X,-2) = X2 (-2) + X(-2)2 + 3X -4 (-2) + 2
       = -2x2  + 4x + 3x +8 + 2
      = -2x2 + 7x + 10

c.       F(4,2) = 42(2) + 4(2)2 + 3 (4) – 4(2) + 2
    = 32 + 16 + 12-8+ 2
    = 70



B.     Metode Bagan/Skema
 Misalkan x = k maka,
F(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Dengan substitusi, nilai sukubanyak memenuhi
F(x) = ak3 + bx2 + cx + d
x=k                  a          b                                  c                                  d
                                    ak                    (ak + b) k                     k
                       a         (ak+b)             k         k + d
                                                  75
                                    1                                  2                                       3

CONTOH
Hitunglah nilai setiap sukubanyak berikut ini dengan metode skema:
F(x)=  x4 -3x3+ 4x2 – x + 10 untuk x = 5
JAWAB
                Koefisien-koefisiennya di ambil
X= 5                       1              -3            4              -1            10
                                                5              10           70           345
                                1              2              14           69           355     Jadi nilai suku banyak f(5) = 355
CONTOH
Hitunglah nilai  sukubanyak  f(m-3) untuk  f(x) = x3-2
JAWAB
X = m-3                 1              0                              0                              -2
                                            m-3                            m2-6m+9             m3-9m2+27m-27
                                1        (m-3)                          m2-6m+9             m3-9m2+27m-29                            




OPERASI ANTAR SUKUBANYAK
A.   

f(x) ± g(x) adalah sukubanyak berderajat maksimum m dan n
f(x) . g(x) adalah sukubanyak berderajat (m+n)
Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Sukubanyak



B.     Kesamaan Sukubanyak

f(x) g(x)

CONTOH
Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14   (x-1)(x-2) + 3a
JAWAB
                x2 – 3x + 14   (x-1)(x-2) + 3a
                x2 – 3x + 14   x2-2x-x+2+ 3a
                x2 – 3x + 14    x2-3x+2+ 3a
sifat kesamaan berdasarkan pangkat variable x yang sama maka
                14 = 2+3a
                   a = 4
 















5.2 Pembagian Suku Banyak
 Perhatikan bentuk pembagian   200 : 6



pembagi                                   yang dibagi
            6          200      = 33                 hasil bagi
                        18
                          20
                          18
                             2                 sisa

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian

CONTOH
                                X2 + 5x + 3                           hasil bagi
x-1                          X3 + 4X2 -2X + 4                                  yang dibagi
                                x-  x2  -
pembagi                    5x2 – 2x
                                      5x2 – 5x
                                                 3x +   4
                                                 3x –   3  -
                                                            7                                  sisa pembagian
                               
                                    
                                  
 


 TUGAS TERSTRUKTUR
1.      Dengan metode substitusi dan metode skema hitunglah:
a.       f(-2), jika  f(x) = 2x +2x3 -5x2 + 6x – 8
b.      f(x,3) jika f(x) = x3 y4 + xy3 + y + 2x2 + 3
2.      Carilah nilai konstanta a pada setiap kesamaan berikut:
a.       (x+1)(x+3) -2a ≡ x2 + 4x -1
b.      x4 + 2x3 + x2 + 4x – 3 ≡ (x2 + 2)(x2 + 2x – 1 ) + a

c.        +    
3.      Tentukan hasil bagi  dan sisa pada setiap pembagian sukubanyak berikut:
a.       x2 + 4x – 10 dibagi oleh x+3
b.      x4 + 3x3 + 4x2 – x + 1 dibagi dengan x-1
c.       4x2 + 6x – 2 dibagi 2x-1


F(x) = P(x) H(x) + S(x)
5.3 Teorema Sisa


Ket ;
F(x) = yang dibagi
P(x) = Pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa pembagian

“jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (x-k), maka sisinya sama dengan f(k)”
 



Contoh
X3 – 3x + 6 dibagi (x+2) dengan teorema sisa dapat ditentukan sisa pembagian sebagai berikut:
Yang dibagi : f(x) = x3 – 3x + 6
Pembagi   :  (x-2) berarti x-2 = 0
                                                     X= -2
Maka  sisanya
F(x) = x3 -3x +6
    S   = f(-2)
         = (-2)2 – 3(-2) + 6 = 4

CONTOH
Tentukan hasil bagi dan sisa pada setiap pembagian sukubanyak berikut:
X2 + 4x -10  dibagi x+3
JAWAB
     X+3 = 0
          X= -3
F(X) = X2 + 4X – 10
F(-3) = (-3)2 + 4 (-3) – 10
          = 9 – 12 – 10
         = -13
        X + 3            X2 + 4X -10    =   X + 1
                                X2 + 3X  -
                                         X – 10
                                         X + 3
-13
 


Pembagian  Sukubanyak dengan (x-k)

f(x) = (x-k). H(x) + S
 



Ket :
F(x) = sukubanyak
(x-k)= pembagi
H(x) = hasil bagi
S = sisa pembagian
Metode pembagian Horner

CONTOH
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak f(x) = x4 + x3 – 2x2 + x + 2 dengan x+ 2
JAWAB
Ambil koefisien dari variable x
X+2 = 0
X = -2          -2                       1              1              -2            1              2
                                                                +             +             +             +
                                                                -2            2              0              -2
                                                1              -1            0              1              0
Hasil bagi H(x) = x3 – x2 + 1
Sisa (S) = 0
CONTOH
Sukubanyak f(x) = x3 + x2 + (a-2) x + 4 dibagi (x-1) memberikan sisa 10 . hitunglah nilai a dan hasil baginya!
JAWAB
x-1 = 0
    x = 1                   1              1              a-2          4
                                                1              2              a
                                1              2              a              a+4
Sisa (S) = a+4
Pada soal terdapat sisa 10   maka       a+4  = 10
                                                                                a=10-4
                                                                                a = 6
Hasil bagi H(x) = x2+2x + 6
 


Pembagian Sukubanyak dengan (ax+b)

F(x) = (ax+b) .  + S

F(x) = (x + ) . H(x)  + S
 


CONTOH
Sukubanyak f(x) = 3x3 + x2 + x + 2 dengan (3x-2)
a.       Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya!
b.      Hitunglah f( )  
JAWAB
a.        3x-2 = 0
       X =                         3            1           1        1
                                                        2           2         2
                                          3            3           3         4

Hasil bagi H(x) = 3x2 + 3x + 3  = x2 + x + 1
Sisa            S(x) = 4
b.      F(  = 3( 3 + ( 2 + (  + 2  = 4
Terbukti bahwa dengan cara  horner dan substitusi sisa pembagian suku banyak akan sama.
 


5.4 Teorema Faktor
5.5 Penyelesaian Persamaan Suku Banyak


dapat dipelajari disini

http://akbarpelatnas11.blogspot.com/2012/06/materi-suku-banyak-sma.html